猜想

数学中的拉姆齐（Ramsey）二染色定理的证明论强度的研究。 这是由英国数理逻辑学家西塔潘于上个世纪90年代提出的一个猜想，十多年来，许多著名研究者一直努力都没有解决。 刘嘉忆本名刘路一个否定式的回答，彻底解决了西塔潘的猜想。 组合数学上，拉姆齐（Ramsey）定理是要解决以下的问题： 要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。 ------------------------ 这个定理以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐命名， 1930年他在论文On a Problem in Formal Logic（《形式逻辑上的一个问题》）证明了R(3,3)=6。 拉姆齐数的定义拉姆齐数，用图论的语言有两种描述： 对于所有的N顶图，包含k个顶的团或l个顶的独立集。 具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数，记作R(k,l)；在着色理论中是这样描述的： 对于完全图Kn的任意一个2边着色(e1,e2)，使得Kn[e1]中含有一个k阶子完全图，Kn[e2]含有一个l阶子完全图， 则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆齐数。 （注意：Ki按照图论的记法表示i阶完全图） 拉姆齐证明，对与给定的正整数数k及l，R(k,l)的答案是唯一和有限的。 拉姆齐数亦可推广到多于两个数： 对于完全图Kn的每条边都任意涂上r种颜色之一，分别记为e1,e2,e3,...,er，在Kn中，必定有个颜色为e1的l1阶子完全图， 或有个颜色为e2的l2阶子完全图……或有个颜色为er的lr阶子完全图。符合条件又最少的数n则记为R(l1,l2,l3,...,lr;r)。 　　 拉姆齐数的数值或上下界已知的拉姆齐数非常少，保罗·艾狄胥曾以一个故事来描述寻找拉姆齐数的难度： “想像有队外星人军队在地球降落，要求取得R(5,5)的值，否则便会毁灭地球。 在这个情况，我们应该集中所有电脑和数学家尝试去找这个数值。 若它们要求的是R(6,6)的值，我们要尝试毁灭这班外星人了。” 显然易见的公式： R(1,s)=1， R(2,s)=s， R(l1,l2,l3,...,lr;r)=R(l2,l1,l3,...,lr;r)=R(l3,l1,l2,...,lr;r)（将li的顺序改变并不改变拉姆齐的数值）。 　　r,s 3 4 5 6 7 8 9 103 6 9 14 18 23 28 36 40 – 434 9 18 25 35 – 41 49 – 61 56 – 84 73 – 115 92 – 1495 14 25 43 – 49 58 – 87 80 – 143 101 – 216 125 – 316 143 – 4426 18 35 – 41 58 – 87 102 – 165 113 – 298 127 – 495 169 – 780 179 – 11717 23 49 – 61 80 – 143 113 – 298 205 – 540 216 – 1031 233 – 1713 289 – 28268 28 56 – 84 101 – 216 127 – 495 216 – 1031 282 – 1870 317 – 3583 317 – 60909 36 73 – 115 125 – 316 169 – 780 233 – 1713 317 – 3583 565 – 6588 580 – 1267710 40 – 43 92 – 149 143 – 442 179 – 1171 289 – 2826 317 – 6090 580 – 12677 798 – 23556R(3,3,3)=17 R(3,3)等于6的证明证明： 在一个K6的完全图内，每边涂上红或蓝色，必然有一个红色的三角形或蓝色的三角形。 任意选取一个端点P，它有5条边和其他端点相连。根据鸽巢原理，3条边的颜色至少有两条相同，不失一般性设这种颜色是红色。 在这3条边除了P以外的3个端点，它们互相连结的边有3条。 若这3条边中任何一条是红色，这条边的两个端点和P相连的2边便组成一个红色三角形。 若这3条边中任何一条都不是红色，它们必然是蓝色，因此，它们组成了一个蓝色三角形。 而在K5内，不一定有一个红色的三角形或蓝色的三角形。 每个端点和毗邻的两个端点的线是红色，和其余两个端点的连线是蓝色即可。 这个定理的通俗版本就是友谊定理。 ---------------------------- 在组合数学上，拉姆齐（Ramsey）定理是要解决以下的问题： 要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。 这个定理以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐命名，1930年他在论文On a Problem in Formal Logic（《形式逻辑上的一个问题》）证明了R(3,3)=6。 拉姆齐数的定义 拉姆齐数，用图论的语言有两种描述： 对于所有的N顶图，包含k个顶的团或l个顶的独立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数，记作R(k,l)； 在着色理论中是这样描述的： 对于完全图Kn的任意一个2边着色(e1,e2)，使得Kn[e1]中含有一个k阶子完全图，Kn[e2]含有一个l阶子完全图， 则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆齐数。 （注意：Ki按照图论的记法表示i阶完全图） 拉姆齐证明，对与给定的正整数数k及l，R(k,l)的答案是唯一和有限的。 拉姆齐数亦可推广到多于两个数： 对于完全图Kn的每条边都任意涂上r种颜色之一，分别记为e1,e2,e3,...,er， 在Kn中，必定有个颜色为e1的l1阶子完全图，或有个颜色为e2的l2阶子完全图……或有个颜色为er的lr阶子完全图。 符合条件又最少的数n则记为R(l1,l2,l3,...,lr;r)。 拉姆齐数的数值或上下界 已知的拉姆齐数非常少，保罗·艾狄胥曾以一个故事来描述寻找拉姆齐数的难度： “想像有队外星人军队在地球降落，要求取得R(5,5)的值，否则便会毁灭地球。 在这个情况，我们应该集中所有电脑和数学家尝试去找这个数值。 若它们要求的是R(6,6)的值，我们要尝试毁灭这班外星人了。” 显然易见的公式： R(1,s)=1， R(2,s)=s， R(l1,l2,l3,...,lr;r)=R(l2,l1,l3,...,lr;r)=R(l3,l1,l2,...,lr;r) （将li的顺序改变并不改变拉姆齐的数值）。 r,s 3 4 5 6 7 8 9 10 3 6 9 14 18 23 28 36 40 – 43 4 9 18 25 35 – 41 49 – 61 56 – 84 73 – 115 92 – 149 5 14 25 43 – 49 58 – 87 80 – 143 101 – 216 125 – 316 143 – 442 6 18 35 – 41 58 – 87 102 – 165 113 – 298 127 – 495 169 – 780 179 – 1171 7 23 49 – 61 80 – 143 113 – 298 205 – 540 216 – 1031 233 – 1713 289 – 2826 8 28 56 – 84 101 – 216 127 – 495 216 – 1031 282 – 1870 317 – 3583 317 – 6090 9 36 73 – 115 125 – 316 169 – 780 233 – 1713 317 – 3583 565 – 6588 580 – 12677 10 40 – 43 92 – 149 143 – 442 179 – 1171 289 – 2826 317 – 6090 580 – 12677 798 – 23556 R(3,3,3)=17 更详尽的可见于www.combinatorics.org/Surveys/ds1/sur.pdf R(3,3)等于6的证明 证明：在一个K6的完全图内，每边涂上红或蓝色，必然有一个红色的三角形或蓝色的三角形。 任意选取一个端点P，它有5条边和其他端点相连。 根据鸽巢原理，3条边的颜色至少有两条相同，不失一般性设这种颜色是红色。 在这3条边除了P以外的3个端点，它们互相连结的边有3条。 若这3条边中任何一条是红色，这条边的两个端点和P相连的2边便组成一个红色三角形。 若这3条边中任何一条都不是红色，它们必然是蓝色，因此，它们组成了一个蓝色三角形。 而在K5内，不一定有一个红色的三角形或蓝色的三角形。 每个端点和毗邻的两个端点 的线是红色，和其余两个端点的连线是蓝色即可。这个定理的通俗版本就是友谊定理。